高中数学怎样求内切球的半径？
发布人：李越 发布时间：2025-09-28
内切球半径公式
初中所学习的三角形内切圆半径公式，其推导过程是利用等面积法。
类比等面积法我们容易联想到等体积法，既而推导出三棱锥的内切球半径公式：
1、直角三角形的内切圆的半径
如图所示，设一个直角三角形的两直角边的长为a,b，斜边的长为
（由
特别当a=b=1时，
，则其内切圆半径
或
可推出）
。
2、直角四面体（从某一顶点出发的三条侧棱两两垂直的四面体）的内切球的半径
设OA、OB、OC两两垂直，且OA=a，OB=b，OC=c，则
设直角四面体内切球半径为r，△OAB、△OBC、△OCA、△ABC的面积分别为
又
所以
即内切球半径
特别当a=b=c=1时，
。
，
，
，S，则
，，
，
。
，
，
。
。
3、正三棱锥的内切球的半径
正三棱锥的定义.
1.底面是正三角形
2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.
满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.
由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.
要防止和另外一个概念--正四面体混淆.
每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.也可以这样说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.
利用正三棱锥的特点，挖掘其内在结构，利用相似三角形求得内切球半径.
等体积法是求解内切球问题的基本方法，其最大的优点在于无需寻找球心的具体位置，也不需要挖掘所给几何体的在几何特征，只要理解等体积法求内切球半径的原理，在此基础上找到相对应的量进行带入计算即可.
